ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
1. Введение
1.1. Обусловленность задачи
      Пример 1.1. Решение плохо обусловленной системы алгебраических уравнений (СЛАУ)
      Пример 1.2. Решение неустойчивой задачи определения корней многочлена пятой степени
1.2. Влияние выбора вычислительного алгоритма на результаты вычислений
      Пример 1.3. Оценка влияния ошибок округления в задании √2 на результат вычисляемого выражения Пример 1.4. Вычисление функции sin(x) с помощью ряда Тейлора. Пример 1.5. Решение СЛАУ с трехдиагональной матрицей
1.3. Элементы теории погрешностей
1.4. Погрешность метода
2. Теория погрешностей
2.1. Основные источники погрешностей в инженерных расчетах
2.2. Правила округления чисел
      Пример 2.1. Округлений чисел
2.3 Математические характеристики точности приближенных чисел
      Пример 2.2. Предельные абсолютные погрешности
      Пример 2.3. Абсолютные погрешности чисел
      Пример 2.4. Округлить число π Пример 2.5. Предельная относительная погрешность результатов взвешивания
      Пример 2.6. Относительная погрешность измерения угла
2.4. Число верных знаков приближенного числа
      Пример 2.7. Количество верных значащих цифр
2.5. Общая формула теории погрешностей
      Пример 2.8. Погрешность вычисления объема
      Пример 2.9. Точность измерения сопротивления с помощью мостика Уинстона
      Пример 2.10. Предельные абсолютная и относительная погрешности объема шара
      Пример 2.11. Определение модуля Юнга по измеренному прогибу в середине пролета балки
2.6 Погрешность арифметических действий
      Пример 2.12. Сумма приближенных чисел
      Пример 2.13. Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника
2.7. Обратная задача теории погрешностей
      Пример 2.14. С какими абсолютными погрешностями нужно определить радиус и высоту цилиндра, чтобы его объем можно было вычислить с точностью до 0,1 м3?
      Пример 2.15. Найти значение функции с точностью до двух десятичных знаков
      Пример 2.16. С какой точностью надо измерить радиус круга и со сколькими знаками взять, чтобы площадь круга была известна с точностью до 0,1 %?
2.8. Задачи для самостоятельного решения
2.9. Задание N 1. Оценка погрешностей приближенных чисел и выражений
3. Основные понятия алгебры матриц и линейной алгебры
3.1. Матрицы
3.2. Ранг матрицы
      Пример 3.1. Вычислить ранг матрицы
3.3. Арифметические операции над матрицами
3.4. Векторы
3.5. Нормы векторов и матриц
      Пример 3.2. Нормы матрицы
      Пример 3.3. Нормы вектора
      Пример. 3.4. Геометрическая интерпретация нормы матрицы
3.6. Характеристическое уравнение матрицы
3.7. Собственные векторы матрицы
      Пример 3.5. Собственные числа и собственные вектора
3.8. Применение векового уравнения и собственных векторов в теории упругости и сопротивлении материалов
      Пример 3.6. Напряженное состояние в точке тела
3.9. Применение векового уравнения и собственных векторов в теории колебаний
      Пример 3.7. Частоты собственных колебаний невесомой консольной балки с двумя рав¬ными сосредоточенными массами
3.10. Обусловленность матриц
      Пример 3.8. Хорошо обусловленная матрица
      Пример 3.9. Плохо обусловленная матрица
3.11. Дифференцирование и интегрирование матриц
3.12. Примеры и задачи
3.13. Задание N 2. Исследование свойств матриц
4. Решение уравнений с одной переменной
4.1. Вводные замечания
      Пример 4.1. Определить количество действительных и комплексных корней уравнения
4.2. Графические методы решения уравнений. Отделение корней
      Пример 4.2. Решить графически уравнение
      Пример 4.3. Найти графическим способом корни уравнения
4.3. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)
4.4. Метод хорд
4.5. Метод Ньютона (метод касательных)
4.6. Метод простой итерации
4.7. Метод секущих
4.8. Методы решения уравнений в MathCAD
      4.8.1. Аналитическое решение уравнений
            4.8.1.1. Решение алгебраических уравнений
            4.8.1.2. Решение логарифмических и показательных уравнений
            4.8.1.3. Решение тригонометрических уравнений
      4.8.2. Численное решение уравнений
            4.8.2.1. Численное определение комплексных корней
            4.8.2.2. Поиск корня уравнения при разных приближениях
4.9. Примеры
4.10. Упражнения
4.11. Варианты задания N 3
4.12. Пример выполнения задания N 3
5 Методы решения СЛАУ
5.1. Решение СЛАУ
      5.1.1. Прямые методы
            5.1.1.1. Правило Крамера
            Пример 5.1. Решение СЛАУ методом Крамера
            5.1.1.2. Использование обратной матрицы
            Пример 5.2. Решение СЛАУ методом обратной матрицы
            5.1.1.3. Метод Гаусса
            Пример 5.3. Решение СЛАУ методом Гаусса
            5.1.1.4. Алгоритм, основанный на LU-разложении матрицы
            Пример 5.4. Представление матрицы в виде произведения нижней и верхней треугольных матриц
            Пример 5.5. Решение матричного уравнения
            5.1.1.5. Метод прогонки
            Пример 5.6. Решение СЛАУ с трехдиагональной матрицей
            Пример 5.7. Решение в MathCAD уравнения трех моментов
            5.1.1.6. О других прямых методах
      5.1.2. Итерационные методы
            5.1.2.1. Уточнение решения
            Пример 5.8. Решение СЛАУ с коэффициентами введенными с ошибкой
            5.1.2.2. Метод простой итерации
            Пример 5.9. Решение СЛАУ методом простой итерации
            Пример 5.10. Решение СЛАУ методом простой итерации с обеспечением условия сходимости метода
            5.1.2.2. Метод Гаусса-Зейделя
            Пример 5.11. Решение СЛАУ методом Гаусса-Зейделя
5.2. Решение систем нелинейных уравнений
      5.2.1. Аналитическое решение систем нелинейных уравнений (СНУ)
            Пример 5.12. Решение СНУ с помощью оператора solve
            Пример 5.13. Решение СНУ с помощью вычислительного блока Given
      5.2.2. Численное решение СНУ
            5.2.2.1. Метод простой итерации и метод Зейделя
            5.2.2.2. Метод Ньютона
            5.2.2.3. Решение СНУ в MathCAD
      5.2.3. Приближенное решение систем уравнений
                  Пример 5.14. Определение параметров уравнения с помощью функции Minerr 5.3. Примеры и задачи
      Пример 5.15. Решить СЛАУ и найти их числа обусловленности
      Задача 5.15.
      Пример 5.16. Решить СЛАУ, используя алгоритм LU-разложении матрицы
      Задача 5.16
      Задача 5.17
      Пример 5.18. Решить СЛАУ методом Гаусса-Зейделя
      Задача 5.18
5.4. Задание N 4
5.5. Пример выполнения задания N 4
6. Интерполирование функций
6.1. Постановка задачи
6.2. Точечная аппроксимация
      Пример 6.1. Глобальная интерполяция
6.3. Линейная и квадратичная интерполяции
      Пример 6.2. Определение приближенного значения функции по результатам интерполяции
      Пример 6.3. Определение значения функции sinc при линейной и параболической интерполяции 6.4. Многочлен Лагранжа
      Пример 6.4. Построение интерполяционного полинома Лагранжа. Функция пользователя
6.5. Многочлен Ньютона
      Пример 6.5. Вычисление в точке x значение функции, заданной таблицей с помощью интерполяционной формулы Ньютона.
6.6 Метод Чебышева
6.7. Точность интерполяции
6.8. Сплайны
6.9. Контрольные вопросы
7. Подбор эмпирических формул
7.1. Характер опытных данных
7.2 Эмпирические формулы
      Пример 7.1. Использование линейной зависимости для описания экспериментальных данных
7.3 Определение параметров эмпирической зависимости
      Пример 7.2. Для тела движущего равнозамедленно найти параметры начальной скорости и ускорения
7.4. Метод наименьших квадратов
      Пример 7.3. Найти эмпирическую формулу для функции y = f(x), заданной векторами x и y. 7.5. Задание N 5. Построение интерполяционных полиномов и подбор эмпирических зависимостей
8. Численное дифференцирование и интегрирование
8.1. Численное дифференцирование
      8.1.1. Аппроксимация производных
      8.1.2. Погрешность численного дифференцирования
      8.1.3. Использование интерполяционных формул
      8.1.4. Улучшение аппроксимации
            Пример 8.1. Вычислить производную функции в точке
      8.1.5. Частные производные
      8.1.6 Численное дифференцирование в MathCAD
8.2. Численное интегрирование
      8.2.1. Вводные замечания
            Пример 8.2. Вычислить интеграл с заданной погрешностью
      8.2.2. Методы прямоугольников и трапеций
            Пример 8.3. Вычисление интеграла
      8.2.3. Метод Симпсона
            Пример 8.4. Вычисление интеграла
      8.2.4. Погрешности численного интегрирования
      8.2.5. Адаптивные алгоритмы
      8.2.6. О других методах. Особые случаи
      8.2.7. Численное интегрирование в MathCAD
            Пример 8.5. Определить длину участка кривой
      8.2.8. Кратные интегралы
            Пример 8.6. Определить геометрические характеристики прямоугольника для главных и параллельных осей
            Пример 8.7. Определить геометрические характеристики поперечного сечения бруса
      8.2.9. Упражнения
      8.2.10. Задание N 6.1. Вычислить определенные интегралы методами прямоугольников, трапеций, Симпсона и сопоставить их точности
            Задание N 6.2. Определить геометрические характеристики плоских сечений
9. Ряд, интеграл, преобразование Фурье
9.1. Историческая справка
9.2. Ряды Фурье
      9.2.1. Вводные замечания
      9.2.2. Ортогональность тригонометрических функций
      9.2.3. Теорема единственности. Ряд Фурье
      9.2.4. Примеры
            Пример 9.1. Определение коэффициентов Фурье функции f(x) = x. Пример 9.2. Определение коэффициентов Фурье функции f(x) = x². Пример 9.3. Определение коэффициентов Фурье функции Хэвисайда.
      9.2.5. Разложение функции, заданной на части промежутка [-π, π] Пример 9.4. Разложение функции f(x) = x на [0, π] в ряд по косинусам 9.2.6. Сдвиг основного промежутка
      9.2.7. Растяжение основного промежутка
      9.2.8. Комплексная форма записи ряда Фурье
            Пример 9.5. Разложение периодической последовательности прямоугольных импульсов в комплексный ряд Фурье
      9.2.9. Разложение функции в ряд Фурье в MathCAD
            Пример 9.6. Поиск частичных сумм функций, рассмотренных в примерах 9.1 и 9.2
      9.2.10 Приближение данных рядом Фурье
9.3. Интеграл Фурье
      9.3.1. Представление функций интегралом Фурье
      9.3.2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье
      9.3.3. Комплексная форма интеграла Фурье
            Пример 9.7. Комплексная форма функции подобной функции Хэвисайда
9.4. Преобразование Фурье
      9.4.1. Понятие о преобразовании Фурье
      9.4.2. Спектральная функция
      9.4.3. Примеры преобразования Фурье
      9.4.4. Преобразование Фурье в MathCAD
            Пример 9.8. Применить БПФ для спектрального разложения и синтеза прямоугольного импульса
            Пример 9.9. Применить прямое и обратное преобразование Хартли и Фурье для разделения сложного сигнала
            Пример 9.10. Расчет прямого и обратного Фурье-преобразования для сигнала с шумом
10. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
10.1. Определения
10.2. Методы решения
10.3. Задача Коши
      10.3.1. Метод Эйлера
      10.3.2. Метод Рун¬ге-Кутты
      10.3.3. Многошаговые методы
      10.3.4. Метод Адамса
      10.3.5. Методами про¬гноза и коррекции
      10.3.6. Жесткие дифференциальные уравнения
      10.3.7. Рекомендации по выбору численного алгоритма
      10.3.8. Примеры решения задачи Коши
            Пример 10.1. Колебания экипажей
            Пример 10.2. Расчет переходного процесса в электрическом колебательном контуре
            Пример 10.3. Решение системы дифференциальных уравнений.
10.4 Краевые задачи
      10.4.1. Двухточечные краевые задачи
            Пример 10.4. Интегрирование приближенного дифференциального уравнения упругой линии балки путем сведения ее к задаче Коши
            Пример 10.5. Определение упругой линии балки стандартными методами сопротивления материалов
            Пример 10.6. Метод стрельбы
            Пример 10.7. Решение предыдущей задачи с помощью функции Пример 10.8. Определение прогиба подвесной балки
            Пример 10.9. Определение наибольшей высоту тела над уровнем начального положения и дальности полета при наличии сопротивления среды пропорционального первой степени скорости
      10.4.2. Краевые задачи с условием во внутренней точке
            Пример 10.10 Решение дифференциального уравнения y" = y с помощью функции bvalfit 10.4.3 Разностные схемы для ОДУ
            Пример 10.11. Определение упругой линии составной балки
      Задание N 7. Численное решение задачи Коши
11. Численные методы решения ДУ в частных производных
11.1. Уравнения в частных производных
11.2. Численное решение ДУ в частных производных МКР
11.3. Численное решение ДУ в частных производных МКЭ
11.4. Функции MathCAD предназначенные для решения ДУ в частных производных методом конечных разностей
11.5. Метод Фурье при решении волнового уравнения.
11.6. Колебание струн. Аналитические решения
11.7. Колебание струн. Численное решение
11.8. Кручение прямолинейных стержней с призматическим поперечным сечением
11.9. Решение плоской задачи теории упругости
      11.9.1. Решение плоской задачи теории упругости МКР
      11.9.2. Решение плоской задачи теории упругости МКЭ в программном комплексе MSC Patran-Nastran
11.10. Изгиб пластинок
      11.10.1. Основные соотношения теории изгиба изотропных пластин средней толщины
      11.10.2. Граничные условия
      11.10.3. Расчет прямоугольных пластин МКР
            11.10.3.1. Решение Навье
            11.10.3.2. Решение М. Леви
      11.10.4. Расчет прямоугольных пластин МКЭ в программном продукте MSC Patran-Nastran
11.11 Расчет динамических задач МКЭ в программном продукте MSC Patran-Nastran
      Задание N 8. Численное решение уравнения Софи-Жермен